Nipote, sei pronto? Oggi parliamo delle proprietà dei logaritmi e faremo tanti esempi per comprendere meglio a che cosa servono!
PROPRIETÀ DEI LOGARITMI. Ricapitolando:
logaritmo in BASE a di un numero x (detto ARGOMENTO DEL LOGARITMO) è l’ESPONENTE da dare alla base per ottenere il numero x.
In parole povere: il LOGARITMO è l’INVERSO dell’elevamento a potenza!
Con le formule:
Ovvero :
Log 2 8 = 3
Log 5 25 = 2
In pratica esponenziale e logaritmo sono due scritture alternative! Ti ho accennato al parallelo, ma te lo spiegherò meglio più tardi, per eliminare ogni dubbio. Adesso passiamo alle proprietà dei logaritmi e facciamo insieme un pochino di esercizi…
RICORDA:
PROPRIETÀ DEI LOGARITMI
Secondo me, quattro sono le proprietà dei logaritmi che devi ricordare. Le altre sono tutte ricavabili da queste. Le vedremo meglio come esempi.
⇒ TEOREMA DEL PRODOTTO
Il logaritmo del prodotto di due numeri è uguale alla SOMMA dei logaritmi dei singoli numeri:
log a (b * c) = log a b + log a c
ESEMPIO :
- log 2 (6 *3) = log 2 6 + log 2 3
- log 5 (7 * 11) = log 5 7 + log 5 11
⇒ TEOREMA DEL QUOZIENTE
Il logaritmo del quoziente di due numeri è uguale alla DIFFERENZA dei logaritmi del numeratore e del denominatore:
log a (b : c) = log a b – log a c
ESEMPI:
- log 3 (9 : 2) = log 3 9 – log 3 2
- log 5 (21 : 11) = log 5 21 – log 5 11
⇒ TEOREMA DELLA POTENZA
log a y m = m * log a y
ESEMPI
- log 2 7 3 = 3 * log 2 7
- log 6 21 4 = 4 * log 6 21
Da questa proprietà ricaviamo che
log a (1/y ) = log a y -1 = – log a y
ovvero il logaritmo del reciproco di un numero è uguale all’opposto del logaritmo del numero stesso
ESEMPIO :
- log 2 (1/3 ) = – log 2 3
- log 5 (1/9 ) = – log 5 9
⇒ FORMULA DEL CAMBIAMENTO DI BASE
Assegnato un logaritmo in una certa base, possiamo passare al logaritmo in una base DIVERSA, utilizzando la formula di cambiamento di base, ossia:
log a y = log b y / log b a
ESEMPIO :
- log 3 8 = log 2 8 / log 2 3
- log 11 7 = log 3 7/ log 3 11
VEDIAMO ORA DELLE APPLICAZIONI DI QUESTE PROPRIETÀ, CHE CI PERMETTERANNO DI OTTENERE ALTRE FORMULE UTILI PER IL CALCOLO.
PROPRIETÀ DEI LOGARITMI. Formule utili
⇒ Se ho sia la base che l’argomento del logaritmo elevati ad una potenza, possiamo scrivere:
log (a)n y m = (m/n) * log a y
Ad esempio:
- log 8 81 = log (2)3 3 4 = (4/3) * log 2 3
⇒ Nel caso di base frazionaria, applicando la formula del cambiamento di base e grazie alla formula precedente, ricordando che 1/a = a -1
log (1/a) y = – log a y
Avevamo anche visto che
log a (1/y ) = log a y -1 = – log a y
per cui, se base e argomento sono reciproci di un numero:
log (1/a) (1/y) = log a y
Per esempio :
log (1/2) (1/3) = log 2 3
Vedi la dimostrazione:
⇒ SCAMBIARE BASE E ARGOMENTO
In alcuni esercizi può essere utile scambiare tra loro argomento e base. In questo caso, grazie alla formula del cambiamento di base, otteniamo:
log a y = log y y / log y a = 1/ log y a
Infatti log y y = 1
PROPRIETÀ DEI LOGARITMI. ALTRI ESEMPI
Più tardi ci occuperemo di equazioni e disequazioni, dopo un breve accenno alla curva logaritmica.
Ora però, QUALCHE ESERCIZIO!
PROPRIETÀ DEI LOGARITMI. Esercizi svolti
Esercizio 1
log 4 7 * log 7 16 = log 4 7 * ( log 4 16 / log 4 7) = (semplificando) = log 4 16 = log 4 (4)2 = 2 log 4 4= 2
Esercizio 2
log2 3 * log3 4 * log 4 5 * log 5 6
Dobbiamo applicare la formula del cambiamento di base. Quale base scegliere? Osserviamo che compaiono 2 e un suo esponenziale, 4 = 22
Ci conviene scegliere come base 2. Applichiamo quindi la formula del cambiamento di base a tutti i fattori successivi al primo:
log2 3 * (log2 4 / log2 3 ) * (log 2 5 / log2 4) *( log 2 6 / log2 5) =
= (semplificando tutti i termini) =
= log 2 6
Esercizio 3
log3 5 * log25 9
Anche in questo caso, dobbiamo ricondurre tutti i termini ad una stessa base. In questo caso è indifferente quale scegliere. Vediamo passando tutto in base 3:
log3 5 *( log3 9 / log3 25) =
Ricordando che 25 = 52 e 9 = 32, abbiamo:
log3 5 *( log3 32 / log3 52) =
Applicando il teorema della potenza
log3 5 *( 2 log3 3 /2 log3 5) =
Semplificando e ricordando che log3 3 = 1, ci resta
log3 5 * log25 9 = 1
Esercizio 3 bis
Ripetiamo lo stesso esercizio, scegliendo però come base 5
log3 5 * log25 9 = (log5 5 / log5 3) * (log5 9 / log 5 25) =
= (1/ log5 3) * (2 log5 3 / 2 log 5 5) = 1
Vedremo ora che le proprietà dei logaritmi possono applicarsi “al contrario)
Esercizio 4
log25 36 + ( log5 1/6)
Ricordando che
log a (1/y ) = log a y -1 = – log a y
e che
log (a)n y m = (m/n) * log a y
abbiamo
log(5)262 – log5 6 = 2/2 log5 6 – log5 6 = 0
Esercizio 5
(log3 12 – log9 4) / log(1/3) 6
Ci serve solo ricordare che
log (a)n y m = (m/n) * log a y
log (1/a) y = – log a y
(log3 12 – log9 4) / log(1/3) 6 = (log3 12 – 2/2 log3 2) / (- log3 6) =
= Siccome una differenza equivale a una divisione, al numeratore abbiamo=
= (log3(12/ 2)) / (- log3 6) = log3 6 / (- log3 6) = -1
Nipote, sei pronto per equazioni e disequazioni???
